M18S3 Actividad Integradora: Malthus

Actividad integradora: Malthus
Alumno: Elber González López
Facilitadora: Leticia Luz Pazos Romo
Grupo: M18C4G7-666
Modulo 18 semana 3

 

¿Qué hacer?

1. Introducción. Lee atentamente para conocer la relación de la  aplicación del modelo de Thomas Malthus, economista inglés en 1798, y el uso de la anti derivada.

En esencia, la idea de este modelo matemático de Malthus es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población sin freno de un país crece en forma proporcional y constante P(t),  en cualquier momento (t en años). En otras palabras, mientras más personas haya en el momento t, habrá más personas en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar:

Donde el símbolo ∝ (alfa) indica que ambas cantidades son proporcionales y k es esa constante de proporcionalidad. Este modelo no tiene en cuenta otros factores (por ejemplo, inmigración y emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, pero predijo con mucha exactitud la población de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. La ecuación diferencial anterior aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante cortos intervalos.

Como se mencionó una de las aplicaciones principales de la anti derivada es la solución de ecuaciones diferenciales, si nos planteamos la ecuación anterior P' (t) = kP (t) podemos ponerla en la forma de diferencial, teniendo la ecuación:

dP=kP(t) dt

Para profundizar en el principio de población de Malthus puedes estudiar el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=2nWSW3SA-no

Ahora como la P es la variable dependiente podemos pensarla como solo y = P(t), de esta manera dP = dy y acomodando la ecuación anterior en términos de y nos resulta:

dy = kydt

Tenemos una igualdad entre dos diferenciales, para que cada lado tenga las mismas variables pasamos la y del lado derecho al lado izquierdo:

En este punto la ecuación está en forma de diferenciales y cada uno de los lados de la igualdad está en términos de una sola variable, para obtener las respectivas funciones que tienen esos diferenciales es necesario obtener su anti derivada.

2. Integra las funciones en cada lado de la igualdad para hallar la solución de la ecuación diferencial, que lleva la ecuación de Malthus, argumentando los pasos de la solución. No olvides que cada función tiene su propia constante de integración:

Una vez que tengas las respectivas anti derivadas en la identidad despeja la variable y para que sea una función en términos de t, debes recordar las propiedades de las funciones necesarias. Tu proceso debe conducir a esta ecuación que es el modelo de Malthus:

y=Ce^kt

Donde la variable K representa la tasa de crecimiento de la población.

3. Desarrollo. Con la aplicación de la anti derivada del modelo de Malthus, sigue el planteamiento y resuelve lo que se indica:

Suponiendo que la población inicial que se está considerando es de 350 individuos determina el valor de C. Si tenemos que k=0.3, y con la ecuación se estima el tamaño de la población dentro de 12 años. Bosqueja una gráfica a mano.

P(t)=Ce^kt = y=Ce^kt

P(t)=y: tasa de crecimiento de una población

C= Población Inicial

K= Constante de proporcionalidad en la población

t= Tiempo

e=2.7182

Datos Como podemos observar el valor de C se define a partir de efectuar las operaciones de la constante, ya que al tener un exponente de valor =0, esto nos da en realidad =1 como se muestra en el siguiente proceso.

t=0  k=0  C=?  P(t)=y=350

P(t)=Ce^kt

350= Ce^kt

Ce⁽⁰⁾⁽⁰⁾

350=Ce⁰

350=C(1)

350/1=C

350=C

(incremento poblacional pasados 12 años:

k=0.3 t=12 C=350

p(t)= Ce^kt

p(t)=(350)(2.7182)^(0.3)(12)

p(t)=(350)(2.7182)^3.6

p(t)=(350)(36.59)

p(t)=12,806

Para su presentación, expón todo el proceso en un archivo de procesador de textos e inserta la imagen de la gráfica.

t	f(t)=350e0.3t	Valor C
0	f(0)=350e0.3-0	350
1	f(1)=350e0.3-1	442
2	f(2)=350e0.3-2	638
3	f(3)=350e0.3-3	861
4	f(4)=350e0.3-4	1162
5	f(5)=350e0.3-5	1569
6	f(6)=350e0.3-6	2117
7	f(7)=350e0.3-7	2858
8	f(8)=350e0.3-8	3858
9	f(9)=350e0.3-9	5208
10	f(10)=350e0.3-10	7030
11	f(11)=350e0.3-11	9489
12	f(12)=350e0.3-12	12806

4. Integra tus pasos en un solo documento y súbelo a la plataforma con el siguiente nombre:

Apellidos_Nombre_M18 S3 AI6_Malthus

Referencias

Sin autor (Academatica). (7de Junio del 2012). Crecimiento Poblacional. (Aplicaciones Ecuaciones diferenciales de primer orden). Entre el 22 y el 26 de Enero del 2018, de youtube.com.mx Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=2nWSW3SA-no

Imagen tomada de Google

Varios Autores. (2015-2018). Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales. En Módulo 18. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad II. La derivada en la explicación de los fenómenos naturales y procesos sociales (35 páginas). México: Secretaria de Educación Pública (SEP)

Módulo 18. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad II. La derivada en la explicación de los fenómenos naturales y procesos sociales

Todos los recursos aquí mencionados, fueron retomados entre los días 22 y 26 de Enero del 2018