M18S3 Actividad Integradora: Concentración de CO2 en una función

Actividad integradora: Concentración de CO2 en una función
Alumno: Elber González López
Facilitadora: Leticia Luz Pazos Romo
Grupo: M18C4G7-666
Modulo 18 semana 3

¿Qué hacer?

1. Lee con detenimiento la siguiente situación:

El cambio climático es un fenómeno con efectos sobre el clima, está asociado a la intervención humana por la producción y acumulación de gases de efecto invernadero, como el CO2, en la atmosfera.

El observatorio del volcán Mauna Loa, en Hawái, se dedica al monitoreo de la concentración de CO2 sobre la superficie de los mares, teniendo un registro desde el año 1980 hasta 2015. Con base en un proceso estadístico, similar al que se revisó en el Módulo 17, fue posible establecer un modelo matemático que aproxima la concentración del CO2, por año.

A continuación se muestra una gráfica de los datos obtenidos por este centro de monitoreo1 del promedio anual de CO2 sobre la superficie del mar, para más información puedes consultar la página del observatorio directamente.

Para pensar esta función de crecimiento se considera el año 1980 como el inicio de la medición de tiempo, es decir, se toma como t = 0, a partir de este punto comienza a avanzar la variable temporal, por último se ajustan las escalas para que los ejes tengan el mismo tamaño entre cada valor, esto, porque es la forma más común de trabajarlo, de manera que la gráfica resultante es:

Usando herramientas de Excel se ha generado un ajuste exponencial (en el Módulo 17 de Estadística se trabajaron ajustes lineales), dado por:

f(t)=333.08e^0.005t

La gráfica de este ajuste se presenta en la siguiente figura:

2. Ahora analiza haciendo uso del modelo exponencial propuesto como la función que define la concentración de CO2 y aplicando diferenciales. Luego debes aplicar y solucionar lo siguiente:

a) Aproxima el cambio en la concentración de CO2 en los mares de 1980 a 1984.

Utilizaremos la diferencial de una función para encontrar el cambio de 0 a 4:

A 1980 le damos el valor de: → X₁

A 1984 le damos el valor de: → X₂

Expresión de la razón de cambio es: Δx= X₂ – X₁     Δx= 1984 – 1980 = 4  ← dx

 f(x) = 333.08e^0.005t

f(x) = 333.08e^0.005t

f ’(x) = 0.005 * 333.08e^0.005t = (333.08 * 0.005) = 1.6654e^0.005t    f ‘(x) = 1.6654e^0.005t 

Ahora sustituyendo la formula:

Concentración de C02 en una función

f(x+Δx) = f(x) + f ‘(x)dx         Evaluamos cuando X=→ 0

Sustituimos los valores: f(x) =  333.08e^0.005x x  f ‘(x) = 1.6654e^0.005x  dx= 4

f(x+Δx) = 333.08e^0.005t     +   1.6654e^0.005t      * 4 =

f(x+Δx) = 333.08e^0.005(0)    (0)  + 1.6654e^0.005(0)    * 4 =

Simplificando multiplicamos 0.005 por cero y el número de Euler elevado a cero da 1 quedando de la siguiente manera:

 f(x+Δx) = 333.08(1)+  1.6654(1) * 4 =    

f(x+Δx) = 333.08  +  1.6654 * 4

f(x+Δx) = 339.7416 ←dy

Así pues y en base a ello se obtiene que: 339.7416 es la aproximación del diferencial de cambio de 0 a 4.

b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica del ajuste exponencial, es decir, a f(x)=333.08e^0.005, en el punto t=0, y úsala para aproximar la concentración de CO2 en t = 4.

Datos

f ’(0) = 333.08e^0.005-0 

Si X=0 entonces f(x)=y=333.08

P₁(X₁, Y₁)=(0,333.08)

m=derivada= f ’(x) = f ’(0)=1.6654e^0.005-0=1.6654

Fórmula para calcular la tangente

y-y₁=m(x-x₁)

Sustituyendo

y-333.08=1.6654(x-0)

y=1.6654x+333.08

Y finalmente para la tangente en base a t=4:

f ’(4)=339.7416e^0.005-4

Por lo que si x=4 entonces f(x)=f(4)=y₂=339.7416

P₂=(X₂,Y₂)=(4,339.7416)

m=derivada= f ’(x) = f ’(0)=1.6654e^0.005-0=1.6654

Fórmula para calcular la tangente:

y-y₂=m(X-X₂)

y-339.7416=1.6654 (x-4)

y=(1.6654 -4x)+339.7416=6.661x+339.7416

Y –y1= f ‘(x) (x – x1)

Tenemos que: X = 0      y₁ = 0.005       f ‘(x) 1.6654

f ‘(x) 1.6654e^0.005t     f(0) = 1.6654e^0.005(0)      = 1.6654(1)     f ‘(x) 1.6654

f(x) = 333.08e^0.005t   f(0) = 333.08e^0.005(0)       f(0) = 333.08(1)         f(0) = 333.08 ←y₁

Y –y₁ = f’ (x) (x – x₁)

Y - 333.08 = 1.6654(x – x₁) despejaremos  enviando el valor de Y₁ al otro lado de la igualdad ósea de restar a sumar.

Y - 333.08 = 1. 6654 (x – 0)

Y = 1.6654x + 333.08 = ← esta es nuestra ecuación de la recta tangente.

Aproximándola a X a 1     Y = 1.6654 (4) + 333.08 = 339.7416

a) f(x + Δx) = 339.7416        b) Y = 339.7416

X	f(x) = 339.7416e^0.005x	y=1.6654x + 339.7416
0	339.7416	339.7416
1	341.444562	341.407
2	343.15606	343.0724
4	346.604836	346.4032
6	350.088272	349.734
8	353.606718	353.0648
10	357.160524	356.3956
12	360.750047	359.7264
14	364.375646	363.0572
16	368.037682	366.388
18	371.736522	369.7188
20	375.472536	373.0496
22	379.246098	376.3804
24	383.057584	379.7112
26	386.907377	383.042
28	390.795861	386.3728
30	394.723425	389.7036

c) Compara tu resultado con lo obtenido en el inciso anterior, respondes ¿qué conclusiones puedes generar al observar estas mediciones? En realidad las aproximaciones nos son útiles para trabajar de manera sencilla y practica los datos generados y los valores reales de alguna función, nos sirven además para obtener resultados más exactos que podemos ubicar como valores y esto nos da su posición en las graficas, que como pudimos observar son valores tan cercanos a la tangente, que llegan a confundirse con ella. Además de que aprendimos que dos estrategias diferentes nos llevaron a un resultado muy aproximado en relación a la diferencial de X y la ecuación de la recta tangente; también observamos que esta misma recta tangente en un punto de la función, es la mejor aproximación a la misma pudiendo comprobar que el resultado es correcto ya que coinciden en f(1) y los valores son muy parecidos.

3. Integra tu desarrollo, con la gráfica, en un documento (de preferencia en procesador de textos) y súbelo a la plataforma con el siguiente nombre:

Apellidos_Nombre_M18 S3 AI5_ConcentraciondeCO2enunafuncion

Referencias

Reglas para derivar funciones exponenciales Autor: Julio Profe, retomado de Youtube.com, publicado el 12 de Abril del 2013 https://www.youtube.com/watch?v=zcs6JXHZQtI

Varios Autores. (2015-2018). Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales. En Módulo 18. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad II. La derivada en la explicación de los fenómenos naturales y procesos sociales (35 páginas). México: Secretaria de Educación Pública (SEP).

Imagen tomada de Google.

Módulo 18. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad II. La derivada en la explicación de los fenómenos naturales y procesos sociales

Todos los recursos aquí mencionados, fueron retomados entre los días 22 y 27 de Enero del 2018 

M18S3 Actividad Integradora: Malthus

Actividad integradora: Malthus
Alumno: Elber González López
Facilitadora: Leticia Luz Pazos Romo
Grupo: M18C4G7-666
Modulo 18 semana 3

 

¿Qué hacer?

1. Introducción. Lee atentamente para conocer la relación de la  aplicación del modelo de Thomas Malthus, economista inglés en 1798, y el uso de la anti derivada.

En esencia, la idea de este modelo matemático de Malthus es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población sin freno de un país crece en forma proporcional y constante P(t),  en cualquier momento (t en años). En otras palabras, mientras más personas haya en el momento t, habrá más personas en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar:

Donde el símbolo ∝ (alfa) indica que ambas cantidades son proporcionales y k es esa constante de proporcionalidad. Este modelo no tiene en cuenta otros factores (por ejemplo, inmigración y emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, pero predijo con mucha exactitud la población de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. La ecuación diferencial anterior aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante cortos intervalos.

Como se mencionó una de las aplicaciones principales de la anti derivada es la solución de ecuaciones diferenciales, si nos planteamos la ecuación anterior P' (t) = kP (t) podemos ponerla en la forma de diferencial, teniendo la ecuación:

dP=kP(t) dt

Para profundizar en el principio de población de Malthus puedes estudiar el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=2nWSW3SA-no

Ahora como la P es la variable dependiente podemos pensarla como solo y = P(t), de esta manera dP = dy y acomodando la ecuación anterior en términos de y nos resulta:

dy = kydt

Tenemos una igualdad entre dos diferenciales, para que cada lado tenga las mismas variables pasamos la y del lado derecho al lado izquierdo:

En este punto la ecuación está en forma de diferenciales y cada uno de los lados de la igualdad está en términos de una sola variable, para obtener las respectivas funciones que tienen esos diferenciales es necesario obtener su anti derivada.

2. Integra las funciones en cada lado de la igualdad para hallar la solución de la ecuación diferencial, que lleva la ecuación de Malthus, argumentando los pasos de la solución. No olvides que cada función tiene su propia constante de integración:

Una vez que tengas las respectivas anti derivadas en la identidad despeja la variable y para que sea una función en términos de t, debes recordar las propiedades de las funciones necesarias. Tu proceso debe conducir a esta ecuación que es el modelo de Malthus:

y=Ce^kt

Donde la variable K representa la tasa de crecimiento de la población.

3. Desarrollo. Con la aplicación de la anti derivada del modelo de Malthus, sigue el planteamiento y resuelve lo que se indica:

Suponiendo que la población inicial que se está considerando es de 350 individuos determina el valor de C. Si tenemos que k=0.3, y con la ecuación se estima el tamaño de la población dentro de 12 años. Bosqueja una gráfica a mano.

P(t)=Ce^kt = y=Ce^kt

P(t)=y: tasa de crecimiento de una población

C= Población Inicial

K= Constante de proporcionalidad en la población

t= Tiempo

e=2.7182

Datos Como podemos observar el valor de C se define a partir de efectuar las operaciones de la constante, ya que al tener un exponente de valor =0, esto nos da en realidad =1 como se muestra en el siguiente proceso.

t=0  k=0  C=?  P(t)=y=350

P(t)=Ce^kt

350= Ce^kt

Ce⁽⁰⁾⁽⁰⁾

350=Ce⁰

350=C(1)

350/1=C

350=C

(incremento poblacional pasados 12 años:

k=0.3 t=12 C=350

p(t)= Ce^kt

p(t)=(350)(2.7182)^(0.3)(12)

p(t)=(350)(2.7182)^3.6

p(t)=(350)(36.59)

p(t)=12,806

Para su presentación, expón todo el proceso en un archivo de procesador de textos e inserta la imagen de la gráfica.

t	f(t)=350e0.3t	Valor C
0	f(0)=350e0.3-0	350
1	f(1)=350e0.3-1	442
2	f(2)=350e0.3-2	638
3	f(3)=350e0.3-3	861
4	f(4)=350e0.3-4	1162
5	f(5)=350e0.3-5	1569
6	f(6)=350e0.3-6	2117
7	f(7)=350e0.3-7	2858
8	f(8)=350e0.3-8	3858
9	f(9)=350e0.3-9	5208
10	f(10)=350e0.3-10	7030
11	f(11)=350e0.3-11	9489
12	f(12)=350e0.3-12	12806

4. Integra tus pasos en un solo documento y súbelo a la plataforma con el siguiente nombre:

Apellidos_Nombre_M18 S3 AI6_Malthus

Referencias

Sin autor (Academatica). (7de Junio del 2012). Crecimiento Poblacional. (Aplicaciones Ecuaciones diferenciales de primer orden). Entre el 22 y el 26 de Enero del 2018, de youtube.com.mx Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=2nWSW3SA-no

Imagen tomada de Google

Varios Autores. (2015-2018). Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales. En Módulo 18. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad II. La derivada en la explicación de los fenómenos naturales y procesos sociales (35 páginas). México: Secretaria de Educación Pública (SEP)

Módulo 18. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad II. La derivada en la explicación de los fenómenos naturales y procesos sociales

Todos los recursos aquí mencionados, fueron retomados entre los días 22 y 26 de Enero del 2018