Actividad integradora: Secante y tangente
Alumno: Elber González López
Facilitadora: Leticia Luz Pazos Romo
Grupo: M18C4G7-666
Modulo 18 semana 2
¿Qué
hacer?
Imagina que
es posible generar una función que modela para x toneladas de
jitomate el costo necesario de su producción f(x). Supongamos que la
función que modela el costo por toneladas está dada por:
f(x)
= 6x2 + 5x
Recuerda
que las funciones son usadas para modelar el comportamiento de algún fenómeno y
así poder estimar los valores de la función cuando hay una variación en x. La
fórmula para calcular la pendiente de la recta secante a una función dada es:
Ahora
resuelve lo que se te pide:
A
partir de la fórmula mencionada, determina la pendiente (m) de la
recta secante para la función de costo de producción de 8 a 10 toneladas.
Para
ello, recuerda lo siguiente:
•
Utiliza la pendiente m de la recta secante para calcular la razón de cambio
promedio del costo de jitomate de 8 a 10 toneladas. Recuerda que X1 será el
primer valor de las toneladas y X2 el subsecuente.
Entonces
queda así:
Si X1=8
entonces Y=6(8)2+5(8)=384+40=424
Si X2=10
entonces Y=6(10)2+5(10)=600+50=650
•
Luego sustituye los valores y obtén la pendiente de la recta secante. La
pendiente de la recta secante por dos puntos de la gráfica de la función se
interpreta como la razón promedio de cambio del costo por tonelada.
2. Realiza la gráfica de la recta secante de la función x = 1.
f(x)
= 6x2 + 5x
La
gráfica de la recta secante con x=1 se debe derivar a partir de la función de
costo de producción:
Función
de costo de producción
f(x)
= 6x2 + 5x
Función
de costo de producción derivada
f´(x)
= 12x + 5
Función de costo de
producción
f(x) = 6x2 + 5x
x
= 1 f(x)
= 6(1)2 +
5(1) f(1) =
6(1) + 5(1) f(1) = 6 + 5
= 11 Valor de Y1
X2=
2 f(x) = 6(2)2 +
5(2) f(2) = 6(4) + 5(2) f(2)
= 24 + 10 = 34 Valor de Y2
X1
= 1
X2 =
2
Y1
= 11
Y2
= 34
m
= 23
Función de costo de
producción derivada
f´(x) = 12x + 5
m
= m=23
Calculemos
la secante: y – y1 = m(x – x1) y
-11 =
23(x-1) y
– 11 = 23x – 15 y = 23x – 23 –
11
Simplificamos
dando como resultado la ecuación para la secante: Y = 23x - 12
3. En seguida saca la recta tangente y represéntala en una
gráfica.
Recuerda
que si quieres obtener y realizar la gráfica de la recta tangente debes
utilizar la función del costo de producción y sustituir el valor de x=1.
Posteriormente
utiliza esta fórmula para obtener la tangente despejando y.
Función del
costo de producción:
Ƒ(x) =
6x2 + 5x
Derivada de
la función original:
Ƒ’ (x) = 12x
+ 5
Sacando el
límite de X y sustituyendo para obtener la pendiente:
Lim → 12x
+ 5
Lim 12(1) + 5
= 17
Valores:
X1=
1
X2 =
2
Y1
= 11
Y2
= 17
Formula:
Despejando Y2
Y2 =
m(x2 – 1) + Y1
Sustituimos
Y2=
17(X2– 1)+ 11 = 17X2 – 17 + 11 = 17X2 – 6
Al realizar
la gráfica emplea una tabla con un rango de x de -2 a 2 como se muestra en el
ejemplo.
Función Original
|
|
f(x)=6X2+5x
|
|
X
|
Y
|
-2
|
14
|
-1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
11
|
2
|
34
|
Función Secante
|
|
Y=23x-12
|
|
X
|
Y
|
-2
|
-58
|
-1
|
-35
|
0
|
-12
|
1
|
11
|
2
|
34
|
Tangente
|
|
Y=17x-6
|
|
X
|
Y
|
-2
|
-40
|
-1
|
-23
|
0
|
-6
|
1
|
11
|
2
|
28
|
4. Integra tus procesos y gráficas (pueden ser a mano, en Excel o con otro programa especializado) en un solo archivo y súbelo a la plataforma con el siguiente nombre:
Apellidos_Nombre_M18 S2 AI4 Secante y tangente
Referencias
Varios Autores. (2015-2018). Cálculo en fenómenos naturales y
procesos sociales. En Módulo 18. Cálculo en fenómenos naturales y procesos
sociales Unidad I. El movimiento como razón de cambio y la derivada. (86
páginas). México: Secretaria de Educación Pública (SEP).
Imagen tomada de Google.
Varios
Autores. (2015-2018). Tema 4: Razón de cambio. En Cálculo en fenómenos
naturales y procesos sociales. (86 páginas). México: Secretaria de Educación
Pública.
Varios
Autores. (2015-2018). Tema 5: Derivada En Cálculo en fenómenos naturales y
procesos sociales. (86 páginas). México: Secretaria de Educación Pública.
Todos
los recursos aquí mencionados, fueron retomados entre los días 15 y 20 de Enero
del 2018
