M18S3 Actividad Integradora: Malthus

Actividad integradora: Malthus
Alumno: Elber González López
Facilitadora: Leticia Luz Pazos Romo
Grupo: M18C4G7-666
Modulo 18 semana 3

 

¿Qué hacer?

1. Introducción. Lee atentamente para conocer la relación de la  aplicación del modelo de Thomas Malthus, economista inglés en 1798, y el uso de la anti derivada.

En esencia, la idea de este modelo matemático de Malthus es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población sin freno de un país crece en forma proporcional y constante P(t),  en cualquier momento (t en años). En otras palabras, mientras más personas haya en el momento t, habrá más personas en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar:

Donde el símbolo ∝ (alfa) indica que ambas cantidades son proporcionales y k es esa constante de proporcionalidad. Este modelo no tiene en cuenta otros factores (por ejemplo, inmigración y emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, pero predijo con mucha exactitud la población de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. La ecuación diferencial anterior aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante cortos intervalos.

Como se mencionó una de las aplicaciones principales de la anti derivada es la solución de ecuaciones diferenciales, si nos planteamos la ecuación anterior P' (t) = kP (t) podemos ponerla en la forma de diferencial, teniendo la ecuación:

dP=kP(t) dt

Para profundizar en el principio de población de Malthus puedes estudiar el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=2nWSW3SA-no

Ahora como la P es la variable dependiente podemos pensarla como solo y = P(t), de esta manera dP = dy y acomodando la ecuación anterior en términos de y nos resulta:

dy = kydt

Tenemos una igualdad entre dos diferenciales, para que cada lado tenga las mismas variables pasamos la y del lado derecho al lado izquierdo:

En este punto la ecuación está en forma de diferenciales y cada uno de los lados de la igualdad está en términos de una sola variable, para obtener las respectivas funciones que tienen esos diferenciales es necesario obtener su anti derivada.

2. Integra las funciones en cada lado de la igualdad para hallar la solución de la ecuación diferencial, que lleva la ecuación de Malthus, argumentando los pasos de la solución. No olvides que cada función tiene su propia constante de integración:

Una vez que tengas las respectivas anti derivadas en la identidad despeja la variable y para que sea una función en términos de t, debes recordar las propiedades de las funciones necesarias. Tu proceso debe conducir a esta ecuación que es el modelo de Malthus:

y=Ce^kt

Donde la variable K representa la tasa de crecimiento de la población.

3. Desarrollo. Con la aplicación de la anti derivada del modelo de Malthus, sigue el planteamiento y resuelve lo que se indica:

Suponiendo que la población inicial que se está considerando es de 350 individuos determina el valor de C. Si tenemos que k=0.3, y con la ecuación se estima el tamaño de la población dentro de 12 años. Bosqueja una gráfica a mano.

P(t)=Ce^kt = y=Ce^kt

P(t)=y: tasa de crecimiento de una población

C= Población Inicial

K= Constante de proporcionalidad en la población

t= Tiempo

e=2.7182

Datos Como podemos observar el valor de C se define a partir de efectuar las operaciones de la constante, ya que al tener un exponente de valor =0, esto nos da en realidad =1 como se muestra en el siguiente proceso.

t=0  k=0  C=?  P(t)=y=350

P(t)=Ce^kt

350= Ce^kt

Ce⁽⁰⁾⁽⁰⁾

350=Ce⁰

350=C(1)

350/1=C

350=C

(incremento poblacional pasados 12 años:

k=0.3 t=12 C=350

p(t)= Ce^kt

p(t)=(350)(2.7182)^(0.3)(12)

p(t)=(350)(2.7182)^3.6

p(t)=(350)(36.59)

p(t)=12,806

Para su presentación, expón todo el proceso en un archivo de procesador de textos e inserta la imagen de la gráfica.

t	f(t)=350e0.3t	Valor C
0	f(0)=350e0.3-0	350
1	f(1)=350e0.3-1	442
2	f(2)=350e0.3-2	638
3	f(3)=350e0.3-3	861
4	f(4)=350e0.3-4	1162
5	f(5)=350e0.3-5	1569
6	f(6)=350e0.3-6	2117
7	f(7)=350e0.3-7	2858
8	f(8)=350e0.3-8	3858
9	f(9)=350e0.3-9	5208
10	f(10)=350e0.3-10	7030
11	f(11)=350e0.3-11	9489
12	f(12)=350e0.3-12	12806

4. Integra tus pasos en un solo documento y súbelo a la plataforma con el siguiente nombre:

Apellidos_Nombre_M18 S3 AI6_Malthus

Referencias

Sin autor (Academatica). (7de Junio del 2012). Crecimiento Poblacional. (Aplicaciones Ecuaciones diferenciales de primer orden). Entre el 22 y el 26 de Enero del 2018, de youtube.com.mx Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=2nWSW3SA-no

Imagen tomada de Google

Varios Autores. (2015-2018). Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales. En Módulo 18. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad II. La derivada en la explicación de los fenómenos naturales y procesos sociales (35 páginas). México: Secretaria de Educación Pública (SEP)

Módulo 18. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad II. La derivada en la explicación de los fenómenos naturales y procesos sociales

Todos los recursos aquí mencionados, fueron retomados entre los días 22 y 26 de Enero del 2018 

M18S2 Actividad Integradora: Secante y tangente

Actividad integradora: Secante y tangente 

Alumno: Elber González López 

Facilitadora: Leticia Luz Pazos Romo

Grupo: M18C4G7-666 

Modulo 18 semana 2

¿Qué hacer?

Imagina que es posible generar una función que modela para x toneladas de jitomate el costo necesario de su producción f(x). Supongamos que la función que modela el costo por toneladas está dada por:

f(x) = 6x² + 5x

Recuerda que las funciones son usadas para modelar el comportamiento de algún fenómeno y así poder estimar los valores de la función cuando hay una variación en x. La fórmula para calcular la pendiente de la recta secante a una función dada es:

Ahora resuelve lo que se te pide:

A partir de la fórmula mencionada, determina la pendiente (m) de la recta secante para la función de costo de producción de 8 a 10 toneladas.

Para ello, recuerda lo siguiente:

• Utiliza la pendiente m de la recta secante para calcular la razón de cambio promedio del costo de jitomate de 8 a 10 toneladas. Recuerda que X1 será el primer valor de las toneladas y X2 el subsecuente.

Entonces queda así:

Si X₁=8 entonces Y=6(8)²+5(8)=384+40=424

Si X₂=10 entonces Y=6(10)²+5(10)=600+50=650

• Luego sustituye los valores y obtén la pendiente de la recta secante. La pendiente de la recta secante por dos puntos de la gráfica de la función se interpreta como la razón promedio de cambio del costo por tonelada.

2. Realiza la gráfica de la recta secante de la función x = 1.

f(x) = 6x² + 5x

La gráfica de la recta secante con x=1 se debe derivar a partir de la función de costo de producción:

Función de costo de producción

f(x) = 6x² + 5x

Función de costo de producción derivada

f´(x) = 12x + 5

Función de costo de producción

f(x) = 6x2 + 5x

x = 1            f(x) = 6(1)² + 5(1)           f(1) = 6(1) + 5(1)         f(1) = 6 + 5 = 11       Valor de Y₁

X₂= 2           f(x) = 6(2)² + 5(2)          f(2) = 6(4) + 5(2)         f(2) = 24 + 10 = 34    Valor de Y₂

X₁ = 1

X₂ = 2

Y₁ = 11

Y₂ = 34

m = 23

Función de costo de producción derivada

f´(x) = 12x + 5

m =               m=23

Calculemos la secante: y – y₁ = m(x – x₁)    y -11 = 23(x-1)            y – 11 = 23x – 15        y = 23x – 23 – 11

Simplificamos dando como resultado la ecuación para la secante: Y = 23x - 12

      3. En seguida saca la recta tangente y represéntala en una gráfica.

Recuerda que si quieres obtener y realizar la gráfica de la recta tangente debes utilizar la función del costo de producción y sustituir el valor de x=1.

Posteriormente utiliza esta fórmula para obtener la tangente despejando y.

Función del costo de producción:

Ƒ(x) = 6x2 + 5x

Derivada de la función original:

Ƒ’ (x) = 12x + 5

Sacando el límite de X y sustituyendo para obtener la pendiente:

Lim → 12x + 5

Lim 12(1) + 5 = 17

Valores:

X₁= 1

X₂ = 2

Y₁ = 11

Y₂ = 17

Formula:

Despejando Y₂

Y₂ = m(x² – 1) + Y₁

Sustituimos

Y₂= 17(X₂– 1)+ 11 = 17X₂ – 17 + 11 = 17X₂ – 6

Al realizar la gráfica emplea una tabla con un rango de x de -2 a 2 como se muestra en el ejemplo.

Función Original
f(x)=6X2+5x
X	Y
-2	14
-1	1
0	0
1	11
2	34

Función Secante
Y=23x-12
X	Y
-2	-58
-1	-35
0	-12
1	11
2	34

Tangente
Y=17x-6
X	Y
-2	-40
-1	-23
0	-6
1	11
2	28

 4. Integra tus procesos y gráficas (pueden ser a mano, en Excel o con otro programa especializado) en un solo archivo y súbelo a la plataforma con el siguiente nombre:

Apellidos_Nombre_M18 S2 AI4 Secante y tangente

Referencias

Varios Autores. (2015-2018). Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales. En Módulo 18. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad I. El movimiento como razón de cambio y la derivada. (86 páginas). México: Secretaria de Educación Pública (SEP).

Imagen tomada de Google.

Varios Autores. (2015-2018). Tema 4: Razón de cambio. En Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales. (86 páginas). México: Secretaria de Educación Pública.

Varios Autores. (2015-2018). Tema 5: Derivada En Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales. (86 páginas). México: Secretaria de Educación Pública.

Todos los recursos aquí mencionados, fueron retomados entre los días 15 y 20 de Enero del 2018

M18S2 Actividad Integradora: La derivada y su función

Actividad integradora: La derivada y su función
Alumno: Elber González López
Facilitadora: Leticia Luz Pazos Romo
Grupo: M07C4G7-666
Modulo 18 semana 2

¿Qué hacer?

1. Lee con atención la siguiente situación:

Supongamos que el costo de la producción en pesos de x toneladas de jitomate está dada por la siguiente función: c (x) = 2x²- 6x

Es decir, para producir 500 toneladas de jitomate se necesitan c (500) = 2 (500)²- 6(500) = 497,000(cuatrocientos noventa y siete mil pesos).

Desarrollo a partir de estas 500 toneladas: c(500)=2(500)²-6(500)=2 .(250,000)-3,000=500,000-3,000=497,000

Desarrollo:

Si queremos saber cuánto se deberá pagar si se incrementa la producción a 30 toneladas más, hay que derivar la ecuación de la producción total y así obtener el costo del incremento de la producción. Para ello, se puede realizar el siguiente proceso:

Se deriva la función del costo de producción.

Datos:

X₁=500

X₂=530

m= 4x-6

Valor de X₁=497,000

Calculo del incremento a 530 toneladas de producción:

m= f(x₂)-f(x₁) / (X₂-X₁)

Sustitución y operaciones:

f(X₁)-f(X₂)=(4x-6)(30)=120x-180

f(X₁)-f(X₂)=120(500)-180=60,000-180=59,820

Costo inicial mas 30 toneladas=497,000+59,820=556,820

Costo inicial por tonelada=497,000÷500=994

Costo por tonelada extra=59,820÷30=1,194

2. A partir de lo anterior, responde:

• ¿Cuánto deberá pagarse por aumentar a 30 toneladas la producción, es decir, por producir 530 toneladas de jitomate? De acuerdo a nuestro resultado se debe de pagar 556,820 en pesos lo que es igual a 1,994 por tonelada.

• En esta situación ¿para qué se aplicó la derivada de la función de producción total? Se aplico para sacar el costo marginal o razón de cambio de la producción de jitomate; ya que de esta simple manera podemos calcular los gastos y ganancias que pudiéramos tener al producir algún bien o servicio.

3. Integra tus respuestas en un documento y súbelo a la plataforma con el siguiente nombre:

Apellidos_Nombre_M18 S2 AI3 La derivada y su función

Referencias:

Varios Autores. (2015-2018). Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales. En Módulo 18. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad I. El movimiento como razón de cambio y la derivada. (86 páginas). México: Secretaria de Educación Pública (SEP).

Imagen tomada de Google.

Varios Autores. (2015-2018). Tema 4: Razón de cambio. En Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales. (86 páginas). México: Secretaria de Educación Pública.

Varios Autores. (2015-2018). Tema 5: Derivada En Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales. (86 páginas). México: Secretaria de Educación Pública.

Todos los recursos aquí mencionados, fueron retomados entre los días 15 y 20 de Enero del 2018